CAPÍTULO 2
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR
En este tema vamos explicar como hallar el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, operaciones que nos serán necesarias para próximos temas matemáticos y para la resolución de una gran cantidad de problemas.
TIENES QUE SABER…
· Un número es múltiplo de otro cuando podemos dividirlo entre este, dándonos un resultado exacto.
o Ejemplos
a)
4 es múltiplo de 2. Ya que 
da un resultado exacto.
b)
100 es múltiplo de 10. Ya que
da un resultado exacto.
· El divisor o factor de un número es lo inverso que el múltiplo.
o Ejemplos
1)
4 es divisor de 20. Ya 
da un resultado exacto.
2)
10 es un factor de 100. Ya que
da un resultado exacto.
· Existen diversos “trucos” para averiguar si un número es divisible por otro.
o Un número es divisible por 2 cuando termina en 0 o en número par.
Ejemplo: 252 es divisible por 2, puesto que termina en número par (2).
o Un número es divisible por 3 cuando la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
Ejemplo: 33 es divisible por 3, puesto la suma de sus dígitos es 9 (3 + 3),
siendo 9 múltiplo de 3
o Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5.
Ejemplo: 250 es divisible por 5, puesto que termina en 0.
·
Números Primos.
o Un número es primo cuando sólo puede dividirse por si mismo o por la unidad.
o
Veamos por ejemplo el número 13. Dicho número
sólo puede ser dividido por si mismo,
, o por la unidad,
. No existe ningún otro número por el que podamos dividir el
13 de manera que el resultado sea exacto.
Por lo tanto el 13 es un número primo.
o Los primeros número primos, que debemos conocer son:
|
1 |
2 |
3 |
5 |
7 |
11 |
13 |
17 |
19 |
23 |
· Descomponer un número en factores primos.
Todo número podemos expresarlo como un producto de factores primos, es decir, una serie de números primos que multiplicados sucesivamente den como resultado dicho número. A este procedimiento lo denominamos descomponer un número en factores primos.
o Ejemplo
Descomponer 10 en factores primos.
10 = 2 * 5 2 y 5 son números primos.
Descomponer 20 en factores primos.
20 = 2 * 2 *
5 = 
* 5
· Método para descomponer un número en factores primos.
1) Dividir el número por el menor número primo que nos sea posible. (Empezando por el 2)
2) Mientras sea posible, dividir el resultado obtenido por el mismo número primo.
3) Si el resultado no es divisible por dicho número primo, buscar el siguiente número primo más pequeño por el que podamos dividir el resultado.
4) Repetir los pasos 2 y 3 hasta que el cociente sea igual a 1.
Aunque el método nos pueda
parecer un poco complicado, observemos en el siguiente ejemplo que, con un poco
de práctica, nos resultará sencillo:
o
Ejemplo
Descomponer el número 50 en factores primos.
50 2
10 25 5 
2 * 5
0 0 5
5
0
1
o
Ejemplo
Descomponer el número 90 en factores primos.
90 2
10 45 3 2 * 3 * 5
0 15 15 3
0
0
5 5
1 1
MODELO
DE EXAMEN
PLANTEAMIENTO
·
Mínimo común múltiplo de dos o más números.
¿Cual el mínimo común múltiplo de 2 , 5 y 25?
RESOLUCIÓN
El
mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o más números
es el múltiplo más pequeño de dichos números. Es decir, el número más pequeño
que puede ser dividido por todos ellos de forma exacta. Existe un sistema
sencillo para hallar el m.c.m.:
1)
Descomponer en factores primos
los números de los que queremos hallar su m.c.m.
2)
El m.c.m
será el producto de todos los factores no comunes, y de entre los factores
comunes el que tenga mayor exponente.
Veamos el método aplicado a nuestro caso
concreto:
1)
Descomponer los números en
factores primos:
2 2
5 5
25 5
2)
El m.c.m.
es el producto de los factores no comunes:
2
Y de los
comunes, el que tenga mayor exponente:
5
El m.c.m. será 2 * 5 = 50
MODELO
DE EXAMEN
PLANTEAMIENTO
·
Máximo común divisor de dos o más números.
¿Cual el máximo común divisor de 12 , 20 y 50?
RESOLUCIÓN
El
máximo común divisor (m.c.d.) de dos o más números es
el mayor divisor de dichos números. Es decir, el número más grande por el que
pueden ser dividido todos ellos de forma exacta.
Existe un sistema sencillo para hallar el m.c.d.:
1)
Descomponer en factores primos
los números de los que queremos hallar su m.c.d.
2)
El m.c.m
será el producto de todos los factores comunes con el menor exponente.
Veamos el método aplicado a nuestro caso
concreto:
1)
Descomponer los números en
factores primos:
12 
2 *
3
20
2 *
5
50
2 * 5
2)
El m.c.d.
es el producto de los factores comunes con menor exponente.
El m.c.d. será 2